Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?
Решение:
Объем чана V=nHR^2, где n -число пи, H - высота, R - радиус. Откуда H=V/nR^2. Площадь поверхности чана равна сумме площадей боковой поверхности (внутренней и наружной) и поверхности донной части (внутренней и наружной):
S=2*2nRH+2*nR^2.
Подставим сюда значение H, выраженное выше через объем и радиус:
S=2*2nRV/nR^2 + 2*nR^2=2nR^2+4V/R.
Из последней зависимости видим, что в правой части все величины постоянные, за исключением R, т.е. имеем функцию зависимости площади поверхности чана от радиуса при заданном постоянном объеме. Чтобы найти экстремум функции необходимо взять производную от нее и приравнять нулю.
Решив полученное уравнение, мы найдем значение R, при котором функция имеет экстремум. Итак приступим. Первая производная:
(2nR^2+4V/R)'=4nR-4V/R^2
4nR^3-4V=0 Откуда R=(V/n)^1/3
Осталось проверить, что это за экстремум. Возьмем вторую производную и если она больше нуля, то имеем минимум. Вторая производная:
(4nR-4V/R^2)'=4n+2*4V/R^3
Очевидно, что при любых значениях R вторая производная больше нуля, следовательно найденное значение R=(V/n)^1/3 соответствует минимуму площади поверхности чана при заданном объеме V
Решение:
Объем чана V=nHR^2, где n -число пи, H - высота, R - радиус. Откуда H=V/nR^2. Площадь поверхности чана равна сумме площадей боковой поверхности (внутренней и наружной) и поверхности донной части (внутренней и наружной):
S=2*2nRH+2*nR^2.
Подставим сюда значение H, выраженное выше через объем и радиус:
S=2*2nRV/nR^2 + 2*nR^2=2nR^2+4V/R.
Из последней зависимости видим, что в правой части все величины постоянные, за исключением R, т.е. имеем функцию зависимости площади поверхности чана от радиуса при заданном постоянном объеме. Чтобы найти экстремум функции необходимо взять производную от нее и приравнять нулю.
Решив полученное уравнение, мы найдем значение R, при котором функция имеет экстремум. Итак приступим. Первая производная:
(2nR^2+4V/R)'=4nR-4V/R^2
4nR^3-4V=0 Откуда R=(V/n)^1/3
Осталось проверить, что это за экстремум. Возьмем вторую производную и если она больше нуля, то имеем минимум. Вторая производная:
(4nR-4V/R^2)'=4n+2*4V/R^3
Очевидно, что при любых значениях R вторая производная больше нуля, следовательно найденное значение R=(V/n)^1/3 соответствует минимуму площади поверхности чана при заданном объеме V